Все лошади одного цвета Опции

[Shasta Dam]

Я могу доказать, что все лошади одного цвета.

По индукции:

База индукции: Одна лошадь, очевидно, одного цвета.
Шаг индукции: Пусть доказано, что любые K>=1 лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим K + 1 каких-то лошадей. Уберём одну лошадь. Оставшиеся K лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберём какую-то другую. Оставшиеся K лошадей снова будут одного цвета. Значит, все K + 1 лошадей одного цвета. По индукции, все лошади одного цвета.



Где ошибка?

[DimitA]

Я могу доказать, что все лошади одного цвета.

По индукции:

База индукции: Одна лошадь, очевидно, одного цвета.
Шаг индукции: Пусть доказано, что любые K>=1 лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим K + 1 каких-то лошадей. Уберём одну лошадь. Оставшиеся K лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберём какую-то другую. Оставшиеся K лошадей снова будут одного цвета. Значит, все K + 1 лошадей одного цвета. По индукции, все лошади одного цвета.
Где ошибка?

При изучении принципа математической индукции полезно рассмотреть доказательство утверждения о том, что все лошади белые. Доказательство основано на двух леммах:
Лемма 1. Все лошади одного цвета.
Доказательство леммы 1 проведём по индукции. При n=1 –очевидно, одна лошадь какого-то одного цвета. Пусть верно для n, докажем, что верно для n+1. Возьмём табун из n лошадей и какую-то отдельно стоящую лошадь. Заберём из табуна одну лошадь и добавим другую, опять табун из n лошадей и по предположению индукции они одного цвета, вернём лошадь, которую забрали. Она из того же табуна, значит того же цвета. Следовательно, любые n+1 лошади одного цвета.
Лемма 2. Из опыта нам известно, что существуют белые лошади.
Откуда согласно Лемме 1 получаем, что все лошади белые. Отсюда кстати немедленно следует, что Александр Македонский не существовал, так как историки утверждают, что его конь был вороной.
Обычно ошибку ищут в доказательстве леммы 1. Однако ещё в III веке до на нашей эры китайский философ Гунсунь Лун изучал вопрос: можно ли считать белую лошадь лошадью и пришёл к выводу, что «белая лошадь» – не «лошадь». Любителям китайской философии будет интересна страничка http://www.chinadata.ru/phylosoph.htm

А вообще: Очевидное противоречие возникает из-за того, что шаг индукции верен лишь при K>= 2. При K>= 1 получаемые множества не будут пересекаться, и утверждени о равенстве цветов лошадей сделать нельзя.

Сообщение отредактировал DimitA - Aug 12 2007, 10:03